Математические фокусы: удлинение отрезка

Значит так, следите за руками: допустим у вас есть отрезок [0, 1]. Определим на нем функцию f(x)  = 2 * x. Таким образом диапазон значений этой функции будет [0, 2].

Но наша функция устанавливает взаимно однозначное сопоставление точек из отрезка [0,1] и отрезка [0, 2], то есть, для любой точки из отрезка [0,1] будет сопоставлена одна, и только одна точка из отрезка [0,2], и наоборот.

В рукавах ничего у меня нет, но, раз мы можем каждой точке из отрезка [0,1] сопоставить точку отрезка [0,2], и что более важно, каждой точке более «длинного» отрезка [0,2] мы можем сопоставить одну точку из отрезка [0,1], получается что отрезок [0,1] содержит столько же точек, сколько и отрезок [0,2]!

То есть оба отрезка состоят из одинакового количества точек, но имеют разную длину!  На самом деле можно ведь сделать функцию f(x) = 1000 * x и получим что в отрезке [0,1] столько же точек сколько в отрезке [0, 1000]

Как такое может быть?

Ничего удивительного нет. Просто тут рассматриваются  два разных понятия: множество точек и длина. Которые между собой то не связаны. Множество точек отрезка [0,1] бесконечно, и множество точек отрезка [0,2] бесконечно. А бесконечность, это совсем не простое арифметическое понятие, поэтому тут и возникает кажущийся парадокс.

Еще пример: возьмем ряд натуральных чисел: 1, 2, 3 … и ряд кубов натуральных чисел: 1, 8, 27 …. Опять тоже самое: каждому элементу из первого множества, соответствует только один элемент из второго. И хотя нам «кажется» что во втором ряду элементов «меньше», это не так: их и там и там одинаковое количество.